第六次翻转课堂草稿

思考题

（1） 有哪些常用的离散时间信号？

1. 单位阶跃序列：$u(n)=\mathbb{I}\{n\in \mathbb{N}\}$$u(n) = \bb I\Bqty{n \in \N}$.

2. 单位样值序列：$\delta (n)=\mathbb{I}\{n=0\}$$\delta(n) = \bb I \Bqty{n = 0}$.

   1. 又称为单位脉冲序列、单位冲激序列.

   2. 相互关系

      1. $\delta (n)=\mathrm{\nabla }u(n)$$\delta(n) = \nabla u(n)$.

      2. $\delta (n+1)=\mathrm{\Delta }u(n)$$\delta(n+1) = \Delta u(n)$.

      3. $u(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (n-k)}$$u(n) = \dsum_{k=0}^\infty \delta(n - k)$.

      4. $u(n+1)=1-\sum \delta (n)$$u(n+1) = 1 - \sum \delta(n)$.

   3. 序列性质

      1. $x(n)\delta (n-k)=x(k)\delta (n-k)$$x(n) \delta(n - k) = x(k) \delta(n - k)$.

      2. $x(n)={\displaystyle \sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}x(k)\delta (n-k)}$$x(n) = \dsum_{k=-\infty}^\infty x(k) \delta(n-k)$.

      3. $x(n)=x(n)\otimes \delta (n)$$x(n) = x(n) \otimes \delta(n)$.

3. 单边指数序列：$x(n)=a^{n}u(n)$$x(n) = a^n u(n)$.

4. 单边斜边序列：$R(n)=n\cdot u(n)$$R(n) = n \cdot u(n)$.

5. 单位矩形序列

   1. $G_N(n)=\mathbb{I}\{0\le n<N\}$$G_N(n) = \bb I\Bqty{0 \le n < N}$.

   2. $G_N(n)=u(n)-u(n-N)$$G_N(n) = u(n) - u(n - N)$.

   3. 注意区别于 $G_{\tau }(t)$$G_\tau(t)$.

6. 正弦序列

   1. $x(n)=\sin \left(n\omega T_{\text{s}}\right)=\sin \left(n{\omega }_0\right)$$x(n) = \sin(n \omega T_\text s) = \sin(n \omega_0)$.

   2. 当且仅当 ${\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2\pi }}\in \mathbb{Q}$$\dfrac{\omega_0}{2\pi} \in \Q$ 时，正弦序列为周期信号.

7. 复指数序列

   1. $x(n)={\text{e}}^{\mathrm{j}{\omega }_{0}n}=\cos \left(n{\omega }_0\right)+\mathrm{j}\sin \left(n{\omega }_0\right)$$x(n) = \e^{\j\omega_0 n} = \cos(n \omega_0) + \j \sin(n \omega_0)$.

   2. 当且仅当 ${\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2\pi }}\in \mathbb{Q}$$\dfrac{\omega_0}{2\pi} \in \Q$ 时，复指数序列为周期信号.

（2） 单位阶跃序列和单位样值序列之间的关系是什么？

见（1），

1. $\delta (n)=\mathrm{\nabla }u(n)$$\delta(n) = \nabla u(n)$.

2. $\delta (n+1)=\mathrm{\Delta }u(n)$$\delta(n+1) = \Delta u(n)$.

3. $u(n)={\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\delta (n-k)}$$u(n) = \dsum_{k=0}^\infty \delta(n - k)$.

4. $u(n+1)=1-\sum \delta (n)$$u(n+1) = 1 - \sum \delta(n)$.

（3） 单边指数序列 $a^{n}u(t)$$a^n u(t)$ 按照 $a$$a$ 的不同可以分为哪几种情况？

对于实数的情况：

1. 当 $a<-1$$a < -1$ 时，增长振荡.

2. 当 $a=-1$$a = -1$ 时，等幅振荡.

3. 当 $-1<a<0$$-1 < a < 0$ 时，衰减振荡.

4. 当 $a=0$$a = 0$ 时，信号恒为零.

5. 当 $0<a<1$$0 < a < 1$ 时，衰减至零.

6. 当 $a=1$$a = 1$ 时，即单位阶跃.

7. 当 $a>1$$a > 1$ 时，增至无穷.

（4） 为什么可以利用单位样值信号或移位的样值信号表示任意序列？

利用单位样值信号的采样性质，

（5） 如何判断正弦序列的周期性？

对于正弦序列 $x(n)=\sin \left(n\omega T_{\text{s}}\right)=\sin \left(n{\omega }_0\right)$$x(n) = \sin(n \omega T_\text s) = \sin(n \omega_0)$，当且仅当 ${\displaystyle \frac{{\omega }_0}{2\pi }}\in \mathbb{Q}$$\dfrac{\omega_0}{2\pi} \in \Q$ 时，正弦序列为周期信号.

（6） 离散时间信号先压缩后展宽，是否能恢复出原信号？为什么？

不一定，因为压缩会删点，而展宽只是补零，可能会丢失数据而无法恢复出原信号.

（7） 什么是前向差分和后向差分？

1. 一阶差分：

   1. 向前差分：$\mathrm{\Delta }f(n)=f(n+1)-f(n)$$\Delta f(n) = f(n+1) - f(n)$.

   2. 向后差分：$\mathrm{\nabla }f(n)=f(n)-f(n-1)$$\nabla f(n) = f(n) - f(n-1)$.

   3. 中心差分：$\cdot \mathrm{\Delta }f(n)={\displaystyle \frac{f(n+1)-f(n-1)}{2}}$$\cdelta f(n) = \dfrac{f(n+1) - f(n-1)}{2}$.

2. 二阶差分：

   1. 向前差分：${\mathrm{\Delta }}^{2}f(n)=f(n+2)-2f(n+1)+f(n)$$\Delta^2 f(n) = f(n+2) - 2 f(n+1) + f(n)$.

   2. 向后差分：${\mathrm{\nabla }}^{2}f(n)=f(n)-2f(n-1)+f(n-2)$$\nabla^2 f(n) = f(n) - 2 f(n-1) + f(n-2)$.

   3. 中心差分：$\cdot {\mathrm{\Delta }}^{2}f(n)={\displaystyle \frac{f(n+2)-2f(n)+f(n-2)}{4}}$$\cdelta^2 f(n) = \dfrac{f(n + 2) - 2f(n) + f(n-2)}{4}$.

3. 二元函数的五点差分公式：

备注 了解一阶的向前差分与向后差分即可，实际应用时 $\sum _k{\mathrm{\Delta }}^{k}f(n)$$\sum_k \Delta^k f(n)$ 的形式可化为 $\sum _{k}f(n-k)$$\sum_k f(n - k)$ 的形式.

（8） 模拟离散时间系统包括哪些基本运算单元？

1. 加法器：$\sum$$\sum$.

2. 乘法器：$\otimes$$\otimes$.

3. 标量乘法器：$a$$a$

4. 延时器：${\displaystyle \frac{1}{E}},z^{-1}$$\dfrac{1}{E}, z\inv$.

（9） 如何求解离散时间系统的齐次解和特解？

本章研究线性时不变离散时间系统，即求解常系数线性差分方程.

1. 齐次解通过特征方程求解，根据特征根可分为 $m$$m$ 重实根与 $m$$m$ 重共轭复根的情况，如下表所示：

2. 特解可在齐次解的基础上使用拉格朗日常数变易法，也可以根据经验使用待定系数法，常见的激励形式及其特解形式如下表所示：

（10）什么是离散时间系统的零输入响应和零状态响应？

与连续时间系统类似，全响应可分为零输入响应与零状态响应之和，即 $y(n)=y_{\text{zi}}(n)+y_{\text{zs}}(n)$$y(n) = y_\text{zi}(n) + y_\text{zs}(n)$.

• 零输入响应 $y_{\text{zi}}(n)$$y_\text{zi}(n)$

  • 仅由初始状态 $x(-1),x(-2),\cdots$$x(-1), x(-2), \cdots$ 引起.

  • 求解思路

    1. 解齐次差分方程，得到齐次通解 $y_{\text{zih}}(n)$$y_\text{zih}(n)$.

    2. 代入初始状态 $y(-1),y(-2),\cdots$$y(-1), y(-2), \cdots$，得到 $y_{\text{zi}}(n)$$y_\text{zi}(n)$.

• 零状态响应 $y_{\text{zs}}(n)$$y_\text{zs}(n)$

  • 仅由输入信号 $x(n)$$x(n)$ 引起.

  • 思路 1

    1. 解非齐次差分方程，得到非齐次通解 $y_{\text{zsp}}(n)$$y_\text{zsp}(n)$.

    2. 思路 1.1：用迭代法求得初始值 $y(0),y(1),\cdots$$y(0), y(1), \cdots$，代入后得到 $y_{\text{zs}}(n)$$y_\text{zs}(n)$.

    3. 思路 1.2：直接代入初始状态 $0=y(-1)=y(-2)=\cdots$$0 = y(-1) = y(-2) = \cdots$，得到 $y_{\text{zs}}(n)$$y_\text{zs}(n)$.

  • 思路 2：利用卷积和，$y_{\text{zs}}(n)=x(n)\ast h(n)$$y_\text{zs}(n) = x(n) * h(n)$.

练习题

2.1 $N=11$$N = 11$.

备注 对于连续函数，其最小正周期为 $5.5$$5.5$，但是离散序列的取值一般限定为 $\mathbb{Z}$$\Z$，故这里的周期应为 $11$$11$.

2.2 $N=22$$N = 22$.

2.3 由于 ${\displaystyle \frac{0.4}{2\pi }}\notin \mathbb{Q}$$\dfrac{0.4}{2\pi} \notin \Q$，故该信号非周期信号.

2.4

1. 压缩：$x(2n)=\{\underset{―}{1},3,5,7\}$$x(2n) = \Bqty{\underline{1}, 3, 5, 7}$.

2. 扩展：$x\left({\displaystyle \frac{n}{2}}\right)=\{\underset{\underset{n=0}{\uparrow }}{1},0,2,0,3,0,4,0,5,0,6,0,7\}$$x\pqty{\dfrac{n}{2}} = \{ \underset{\underset{n=0}{\uparrow}}{1}, 0, 2, 0, 3, 0, 4, 0, 5, 0, 6, 0, 7 \}$.

备注 这里 $\underset{―}{1}$$\underline{1}$ 和 $\underset{\underset{n=0}{\uparrow }}{1}$$\underset{\underset{n=0}{\uparrow}}{1}$ 都表示 $n=0$$n = 0$ 时的取值. 之后我都使用第一个表示方法，因为打字简单，且便于使用自适应括号.

2.5 $y(n)-ay(n-1)=x(n)$$y(n) - a y(n-1) = x(n)$.

备注 对于零状态的情况，可解得单位样值响应为 $h(n)=a^{n}u(n)$$h(n) = a^n u(n)$，从而 $y(n)=a^{n}u(n)\ast x(n)$$y(n) = a^n u(n) * x(n)$.

2.6 $y(n)-{\displaystyle \frac{13}{4}}y(n-1)+{\displaystyle \frac{1}{8}}y(n-2)=x(n)$$y(n) - \dfrac{13}{4} y(n-1) + \dfrac{1}{8} y(n-2) = x(n)$.

2.7

特征根为 2 和 3，从而 $y(n)=C_1{2}^n+C_2{3}^n$$y(n) = C_1 2^n + C_2 3^n$，代入初值条件，得

从而解为 $y(n)=5\cdot 2^n-3^{n+1}$$y(n) = 5 \cdot 2^n - 3^{n+1}$.

2.8

1. 零输入响应

   1. 特征根为 $-2$$-2$，故齐次通解为 $y_{\text{zih}}(n)=C(-2{)}^n$$y_\text{zih}(n) = C (-2)^n$.

   2. 代入 $y(-1)=1$$y(-1) = 1$，得 $y_{\text{zi}}(n)=(-2{)}^{n+1}$$y_\text{zi}(n) = (-2)^{n+1}$.

2. 零状态响应

   1. 零状态时迭代得 $y(0)=5$$y(0) = 5$，代入得 $h(n)=5(-2{)}^{n}u(n)$$h(n) = 5 (-2)^n u(n)$.

   2. 于是 $y_{\text{zs}}(n)=h(n)\ast u(n)={\displaystyle \frac{5}{3}}[1-(-2{)}^{n+1}]u(n)$$y_\text{zs}(n) = h(n) * u(n) = \dfrac{5}{3} \bqty{1 - (-2)^{n+1}} u(n)$.

3. 全响应：$y(n)=y_{\text{zi}}(n)+y_{\text{zs}}(n)=(-2{)}^{n+1}+{\displaystyle \frac{5}{3}}[1-(-2{)}^{n+1}]u(n)$$y(n) = y_\text{zi}(n) + y_\text{zs}(n) = (-2)^{n+1} + \dfrac{5}{3} \bqty{1 - (-2)^{n+1}} u(n)$.

2.9

1. 求解零状态：递推得 $y(-1)=-{\displaystyle \frac{1}{2}},y(-2)={\displaystyle \frac{5}{4}}$$y(-1) = -\dfrac{1}{2}, y(-2) = \dfrac{5}{4}$.

2. 求齐次通解：特征根为 $-1,-2$$-1, -2$，于是 $y_{\text{zih}}(n)=C_1(-1{)}^n+C_2(-2{)}^n$$y_\text{zih}(n) = C_1 (-1)^n + C_2(-2)^n$.

3. 零输入响应：代入 $y(-1)$$y(-1)$ 和 $y(-2)$$y(-2)$，得 $y_{\text{zi}}(n)=2(-1{)}^n-3(-2{)}^n$$y_\text{zi}(n) = 2 (-1)^n - 3 (-2)^n$.

Mathematica 代码

2.7

x
1
(* RSolve 用于解递推方程 *)
2
RSolve[{
3
        y[n] - 5 y[n - 1] + 6 y[n - 2] == 0,
4
        y[0] == 2, y[1] == 1
5
    }, y[n], n
6
]

2.8

x
1
(* RSolveValue 用符号解差分方程，与 RSolve 功能类似，只是输出表达式，而非列表. *)
2
RSolve[{y[n] + 2 y[n - 1] == 5 UnitStep[n], y[-1] == 1}, y[n], n]
3
RSolveValue[{y[n] + 2 y[n - 1] == 5 UnitStep[n], y[-1] == 1}, y[n], n]

2.9

x
10
9
10
1
x[n_] := (-2)^n UnitStep[n]
2

3
y1 = RSolveValue[{
4
        y[n] + 3 y[n - 1] + 2 y[n - 2] == x[n] + x[n - 1],
5
        y[0] == 0, y[1] == 0
6
    }, y[n], n
7
] (* 求解 x[n] 时的全响应 *)
8

9
RSolveValue[{
10
        y[n] + 3 y[n - 1] + 2 y[n - 2] == 0,
11
        y[-1] == y1 /. n -> -1,
12
        y[-2] == y1 /. n -> -2
13
    }, y[n], n
14
] (* 求解系统的零输入响应 *)